Kako rešiti sisteme enačb

Sistem enačb ni težko rešiti z uporabo osnovnih metod za reševanje sistemov linearnih enačb: metoda substitucije in metoda seštevanja.

Navodila za uporabo

1

Upoštevajmo metode reševanja sistema enačb na primeru sistema dveh linearnih enačb, ki imata dve neznani vrednosti. Na splošno je tak sistem zapisan na naslednji način (na levi strani so enačbe združene s kodranim oklepajem):

os + b = c

dx + ey = f, kje

a, b, c, d, e, f so koeficienti (specifična števila), x in y pa, kot običajno, neznana. Števila a, b, c, d imenujemo koeficienti za neznanke, c in f pa prosti izrazi. Rešitev takega sistema enačb najdemo z dvema glavnima metodama.

Reševanje sistema enačb z metodo substitucije.

1. Vzamemo prvo enačbo in izrazimo eno od neznank (x) glede na koeficiente in drugo neznano (y):

x = (s-by) / a

2. Izraz, dobljen za x, zamenjajte z drugo enačbo:

d (c-by) / a + ey = f

3. Rešijo nastalo enačbo, najdemo izraz za y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Namestite nastali izraz za y v izraz za x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Primer: rešiti morate sistem enačb:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Poiščite vrednost x iz prve enačbe:

x = (2y + 4) / 3

Nadomestite nastali izraz v drugo enačbo in dobite enačbo z eno spremenljivko (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, od kod dobimo:

y = 1

Zdaj nadomestimo najdeno vrednost y v izrazu za spremenljivko x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Odgovor: x = 2, y = 1.

2

Rešitev sistema enačb z metodo seštevanja (odštevanja).

Ta metoda se zmanjša na množenje obeh strani enačb s števili (parametri), tako da koeficienti ene od spremenljivk sovpadajo (po možnosti z nasprotnim znakom).

V splošnem primeru je treba obe strani prve enačbe pomnožiti s (-d), obe strani druge enačbe pa z a. Kot rezultat dobimo:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Če dobimo enačbe, dobimo:

-bdu + aeu = -cd + af, od kod dobimo izraz za spremenljivko y:

y = (af-cd) / (ae-bd), zamenjavo izraza za y v kateri koli enačbi sistema, dobimo:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

iz te enačbe najdemo drugo neznano:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Primer. Rešite sistem enačb z dodajanjem ali odštevanjem:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Prvo enačbo pomnožimo z (-1), drugo pa s 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Če seštejemo (izraz po izraz) obe enačbi, dobimo:

11y = 11

Kje dobimo:

y = 1

Dobljeno vrednost za y nadomestimo s katero koli enačbo, na primer v drugo, dobimo:

3x + 9 = 15, od kod

x = 2

Odgovor: x = 2, y = 1.