Kako izračunati površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih

Na katerem koli drugem nekolinearnem in ničelnem vektorju je mogoče zgraditi paralelogram. Ta dva vektorja se bosta vzpostavila paralelogram, če na enem mestu združite njihov izvor. Dokončajte stranice figure.

Navodila za uporabo

1

Poiščite dolžine vektorjev, če so podane njihove koordinate. Naj ima na primer vektor A v ravnini koordinate (a1, a2). Potem je dolžina vektorja A | A | = √ (a1² + a2²). Podobno najdemo modul vektorja B: | B | = √ (b1² + b2²), kjer sta b1 in b2 koordinate vektorja B na ravnini.

2

Območje paralelograma najdemo s formulo S = | A | • | B | • sin (A ^ B), kjer je A ^ B kot med danima vektorjema A in B. Sinus lahko najdemo skozi kosinus s pomočjo osnovne trigonometrične identitete: sin²α + cos²α = 1. Kosinus lahko izrazimo s skalarnim izdelkom vektorjev, zapisanimi v koordinatah.

3

Skalarni produkt vektorja A z vektorjem B označujemo z (A, B). Po definiciji je enak (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). V koordinatah je skalarni izdelek zapisan tako: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Od tu lahko izrazimo kosinus kota med vektorji: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). V števcu je skalarni izdelek, v imenovalcu pa dolžine vektorjev.

4

Zdaj lahko izrazimo sinus iz glavne trigonometrične identitete: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Če predpostavimo, da je kot α med vektorji akutni, lahko minus s sinusom zavržemo, pri čemer pustimo samo znak plus, saj je sinus akutnega kota lahko le pozitiven (ali nič pod ničelnim kotom, vendar je tukaj kot ničelni kot, to se prikaže v pogoju nekolinearnost vektorjev).

5

Zdaj moramo nadomestiti koordinatni izraz za kosinus v sinusni formuli. Po tem ostane samo zapisati rezultat v formuli območja paralelograma. Če vse to naredimo in numerični izraz poenostavimo, potem se izkaže, da je S = a1 • b2-a2 • b1. Tako najdemo območje paralelograma, zgrajenega na vektorjih A (a1, a2) in B (b1, b2), s formulo S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Tako dobljen izraz je determinant matrice, sestavljene iz koordinatov vektorjev A in B: a1 a2b1 b2.

7

Dejansko je za pridobitev determinante matrike dimenzije dve potrebno pomnožiti elemente glavne diagonale (a1, b2) in od nje odšteti produkt elementov stranske diagonale (a2, b1).