Kako najti območje krožnega segmenta

Eden od pogostih geometrijskih problemov je izračun površine krožnega segmenta - dela kroga, omejenega z akordom, in ustreznega akorda loka kroga.

Površina krožnega segmenta je enaka razliki med površino ustreznega krožnega sektorja in površino trikotnika, ki jo tvorijo polmeri ustreznega odseka sektorja in struna, ki omejuje segment.

Primer 1

Dolžina akorda, ki sklepa krog, je enaka vrednosti a. Merilna stopnja loka, ki ustreza akordu, je 60 °. Poiščite območje krožnega segmenta.

Rešitev

Trikotnik, ki ga tvorita dva polmera in akord, je izosceles, zato bo višina, narisana od vrha osrednjega kota do strani trikotnika, ki jo tvori akord, tudi bisektor osrednjega kota, ki ga prepolovimo in srednjo, razpolovimo akord. Če vemo, da je sinus kota v pravokotnem trikotniku enak razmerju nasprotne strani do hipotenuze, lahko izračunamo polmer:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a

Površino sektorja, ki ustreza določenemu kotu, je mogoče izračunati po naslednji formuli:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Površina trikotnika, ki ustreza sektorju, se izračuna na naslednji način:

S ▲ = 1/2 * ah, kjer je h višina, vlečena od vrha osrednjega kota do akorda. Po pitagorejskem izrekanju je h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

V skladu s tem je S ▲ = √3 / 4 * a².

Površina segmenta, izračunana kot Sseg = Sc - S ▲, je enaka:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Če zamenjate številčno vrednost namesto a, lahko enostavno izračunate številčno vrednost območja segmenta.

Primer 2

Polmer kroga je enak a. Stopnja mere loka, ki ustreza segmentu, je 60 °. Poiščite območje krožnega segmenta.