Kako rešiti enačbe s koreninami
Video: Reševanje enačb z OKLEPAJI 2024, Julij
Včasih je v enačbah znak korena. Mnogim študentom se zdi, da je zelo težko rešiti takšne enačbe "s koreninami" ali, bolje rečeno, iracionalne enačbe, vendar to ni tako.
Navodila za uporabo
1
Za razliko od drugih vrst enačb, na primer kvadratnih ali linearnih sistemov enačb, ni standardnega algoritma za reševanje enačb s koreninami ali natančneje iracionalnih enačb. V vsakem posameznem primeru je treba izbrati najprimernejšo rešitev rešitve, ki temelji na "videzu" in značilnostih enačbe.
Dvig delov enačbe na isto stopnjo.
Najpogosteje se za reševanje enačb s koreninami (iracionalne enačbe) uporablja dvig obeh strani enačbe na isto stopnjo. Praviloma v stopnji, ki je enaka stopnji korenine (kvadrat za kvadratni koren, kocka za kubični koren). Upoštevati je treba, da lahko levi in desni del enačbe enakomerno dvigneta. V tem primeru bi morali preveriti dobljene korenine, tako da jih nadomestimo v enačbi. Posebno pozornost pri reševanju enačb s kvadratnimi (enakomernimi) koreninami je treba nameniti območju dopustnih vrednosti spremenljivke (ODZ). Včasih je za določitev ali bistveno poenostavitev enačbe dovolj samo ocena ODL.
Primer. Rešite enačbo:
√ (5x-16) = x-2
Obe strani enačbe kvadratimo:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², od koder zaporedoma dobimo:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Če rešimo dobljeno kvadratno enačbo, najdemo njene korenine:
x = (9 ± √ (81–4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Z zamenjavo obeh najdenih korenin v prvotni enačbi dobimo pravilno enakost. Zato sta obe številki rešitve enačbe.
2
Metoda za uvedbo nove spremenljivke.
Včasih je priročneje najti korenine enačbe s koreninami (iracionalna enačba) z uvedbo novih spremenljivk. Pravzaprav je bistvo te metode preprosto reducirano na kompaktnejši zapis rešitve, tj. namesto da bi vsakič pisal obsežen izraz, ga nadomesti legenda.
Primer. Rešimo enačbo: 2x + √x-3 = 0
To enačbo lahko rešite tako, da razvrstite obe strani. Vendar bodo sami izračuni videti precej okorni. Z uvedbo nove spremenljivke se bo postopek odločanja izkazal za veliko bolj eleganten:
Uvedemo novo spremenljivko: y = √ x
Nato dobimo navadno kvadratno enačbo:
2y² + y-3 = 0, s spremenljivko y.
Če rešimo nastalo enačbo, najdemo dve korenini:
y1 = 1 in y2 = -3 / 2, z nadomestitvijo najdenih korenin v izrazu za novo spremenljivko (y) dobimo:
√ x = 1 in √ x = -3 / 2.
Ker vrednost kvadratnega korena ne more biti negativna številka (če se ne dotaknete območja kompleksnih številk), dobimo edino rešitev:
x = 1.